Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点.
（Ⅰ） 求证：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求二面角B-EF-D的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）设CE中点为M，连BM，MF 则BM⊥CE, 
 由 可知
∵DE⊥平面ACD∴DE⊥AF
即DE⊥BM∴BM⊥平面CDE,
又∵BM平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE
（2）过M作MD⊥EF于P，
∵BM⊥平面CDE
∴BD⊥EF
∠BPM即是二面角B-EF-D的平面角的补角
∵,  ∴.
即二面角B-EF-D的余弦值为


解法二：设AD=DE=2AB=2a.，建立如图所示的坐标系A-xyz，
则.
∵F为CD的中点，∴.      
(1) 证明: ∵，  
∴，∴.          
∴平面CDE，又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.                                
(2) 解: 设平面的法向量，
由，可得：
  同理可求得平面的法向量
   ,
二面角B-EF-D的余弦值为