Question

（2011•许昌一模）选修4-1；几何证明选讲
如图，PA为⊙O的切线，PB为过圆心O的割线，PA=AB，以AB为直径的圆交PB于C，交PA的延长线于D．
（Ⅰ）求证：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图，连接OA，由AB为圆O′的直径得到BD⊥PD；再利用切线的性质可得OA⊥PD；利用平行线的性质及OA∥BD，可得∠1=∠3．利用半径相等可知∠1=∠2，进而得到∠2=∠3，于是在圆O′中，

AC

=

AD

，即可得出AC=AD．   
（Ⅱ）利用等边对等角及PA=AB，可得∠P=∠2=∠3；利用三角形的内角和定理可得∠P+∠2+∠3=90°，可得∠P=∠2=30°，故OE=OA=

1

2

OP．设⊙O的直径为R，则PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16，可得R．

解答：解：（Ⅰ）如图，连OA，因AB为圆O′的直径，有BD⊥PD，
又PA为圆O的切线，A为切点，有OA⊥PD，
故OA∥BD，∠1=∠3，
又OA=OB，可知∠1=∠2，所以∠2=∠3，
在圆O′中，

AC

=

AD

，于是AC=AD．   
（Ⅱ）因PA=AB，故∠P=∠2=∠3，在Rt△BDP中，
∠P+∠2+∠3=90°，所以∠P=∠2=30°，
故OE=OA=

1

2

OP．
设⊙O的直径为R，则PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16
可得R=

4 3

3

，故⊙O的直径为

8 3

3

．

点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、同圆中的相等圆周角与所对的弧的关系、含30°角的直角三角形的性质、切割线定理等是解题的关键．