Question

（2006•南京一模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）求AD和B₁C所成的角
（2）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的大小．（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）利用正方体的性质AD∥BC，可知异面直线AD与B₁C所成的角为∠B₁CB或其补角．在Rt△BCB₁中求出即可；
（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接BF，EG，GF．
利用正方体的性质和线面垂直的判定定理可得BF⊥平面B₁CD．
利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理可得四边形BFGE是平行四边形，
再利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明平面EB₁D⊥平面B₁CD．
（3）连接EF，可得：FG⊥B₁C，EF⊥B₁C，因此∠EFG为二面角E-B₁C-D的平面角．
在Rt△EFG中求出即可．

解答：解：（1）正方体中，AD∥BC，∴AD与B₁C所成的角为∠B₁CB或其补角．
∵∠B₁CB=45°，∴AD和B₁C所成的角为45°．
（2）取B₁C的中点F，B₁D的中点G，连接BF，EG，GF．
∵CD⊥平面BCC₁B₁，∴DC⊥BF．
又BF⊥B₁C，DC∩B₁C=C，∴BF⊥平面B₁CD．
∵GF

∥

.

1

2

CD，BE

∥

.

1

2

CD，
∴BE

∥

.

GF，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥CE．
∴EG⊥平面B₁CD．
又EG?平面EB₁D，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD．
（3）连接EF．∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C．
又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C，∴∠EFG为二面角E-B₁C-D的平面角．
设正方形的边长为a，则在中，GF=

1

2

a，EF=

3

3

a，
∴cos∠EFG=

GF

EF

=

3

3

．
∴二面角E-B₁C-D的大小为arccos

3

3

．

点评：熟练掌握正方体的性质、线面平行于垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、二面角的作法与求法、异面直线所成的角等是解题的关键．