Question

已知函数g（x）=ax-2lnx
（I）若a＞0，求函数g（x）的最小值
（Ⅱ）若函数f（x）=g（x）-

a

x

在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）求导函数，可得g′（x）=

ax-2

x

∵a＞0
∴x∈（0，

2

a

）时，g′（x）＜0；x∈（

2

a

，+∞），g′（x）＞0
∴函数的单调递减区间为（0，

2

a

），单调递增区间为（

2

a

，+∞），
∴函数在x=

2

a

时，取得极小值，即为最小值，最小值为g（

2

a

）=2-2ln

2

a

；
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=

ax2-2x+a

x2

①若f′（x）≥0，则ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；
②若f′（x）≤0，则ax²-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜

2x

x2+2

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，∵

2

x+ 1 x

＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；
综上，a≥1或a≤0．