Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B-AC-M的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OM，利用三角形中位线性质，证明OM∥PD，即可证明PD∥平面AMC；
（Ⅱ）取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，证明∠MEN为二面角B-AC-M的平面角，即可求得二面角B-AC-M的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，连接OM
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点
∵M是BP的中点，∴OM∥PD
∵OM?平面AMC，PD?平面AMC
∴PD∥平面AMC；
（Ⅱ）解：取AB中点N，作NE⊥AC，垂足为E，连接ME
∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，BC⊥PA
∵PA⊥AB，AB∩BC=B
∴PA⊥平面ABCD
∵M为PB的中点，N为AB的中点，
∴MN∥PA
∴MN⊥平面ABCD
∵NE⊥AC，∴ME⊥AC，
∴∠MEN为二面角B-AC-M的平面角
∵BC=2，AB=1，∴AC=
∵△ABC∽△AEN，∴NE=
∵MN=1，∴ME==
∴二面角B-AC-M的余弦值为==．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．