Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，那么(3

x

-

1

x

)n的展开式中的常数项为

 

．

Answer 1

分析：先把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．
再求出(3

x

-

1

x

)n的展开式中的通项，令x的指数为0求出r，再代入通项公式即可求出(3

x

-

1

x

)n的展开式中的常数项．

解答：解：因为（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1得：2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=126
即2ⁿ⁺¹=128=2⁷．
解得n=6．
所以(3

x

-

1

x

)n的展开式中的通项为：

C

r 6

•(3

x

)6-r•(-

1

x

)r=（-1）^r3^6-r•C₆^r•x

6-2r

2

．
令

6-2r

2

=0，得r=3．
所以(3

x

-

1

x

)n的展开式中的常数项为：（-1）³•3³•C₆³=-540．
故答案为：-540．

点评：本题主要考查二项式定理的应用以及数列求和公式的应用．解决本题的关键在于把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再结合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．这也是本题向下做的前提．