Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f（x）=2^x-1的图象上，则数列{

1

an

}的前n项和T_n=

2-

1

2 n-1

．

Answer 1

分析：由点(n，Sn)(n∈N*)在函数f（x）=2^x-1的图象上，知Sn=2n-1，解得an=2n-1，所以

1

an

=

1

2 n-1

=2^1-n，由此能求出数列{

1

an

}的前n项和．

解答：解：∵点(n，Sn)(n∈N*)在函数f（x）=2^x-1的图象上，
∴Sn=2n-1，
∴a₁=S₁=2-1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（n≥2）
当n=1时，2^n-1=2⁰=1=a₁，
∴an=2n-1，
∴

1

an

=

1

2 n-1

=2^1-n，
∴{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴数列{

1

an

}的前n项和T_n=

1×(1- 1 2 n )

1- 1 2

=2-

1

2 n-1

．
故答案为：2-

1

2 n-1

．

点评：本题考查数列与函数的综合，是中档题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用，合理地进行等价转化．