Question

【题目】在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面平面；

③的面积可能等于；

④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案.

①如图所示，当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，

且，所以平面，

又平面，所以平面平面，故正确；

②如图所示，取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，

则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，

所以平面，故正确；

③如图所示，作，在中根据等面积得：，

根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，

则，故正确；

④如图所示，设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.

故答案为 ①②③④