Question

an=

log	(n+2) (n+1)

(n∈N +)，我们把使乘积a₁a₂…a_n为整数的数n叫做“盛芳数”，则在区间[1，2009]内所有”盛芳数”的和为（　　）

A．2026

B．2028

C．2011

D．2012

Answer 1

分析：由题意可得，a₁•a₂…a_n的表达式，通过对数的运算性质化简表达式，在区间[1，2009]内所有“盛芳数”的和，即可求解．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），n∈Z．
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k
在[1，2009]内的所有“盛芳数”：2²-2，，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故选A．

点评：本题以新定义“盛芳数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．