Question

指出函数f(x)=x+

1

x

在（-∞，-1]，[-1，0）上的单调性，并证明之．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂，通过判断

f(x2)-f(x1)

x2-x1

的符号可得f（x₂）与f（x₁）的大小，由单调性的定义可得结论；同理可得当-1≤x₁＜x₂＜0时，函数的单调性．

解答：解：f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂，
则

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+ 1 x2 )-(x1+ 1 x1 )

x2-x1

=1-

1

x1x2

，
由x₁＜x₂≤-1，知x₁x₂＞1，∴1-

1

x1x2

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数；
当-1≤x₁＜x₂＜0时，有0＜x₁x₂＜1，得1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[-1，0）上是减函数．

点评：本题考查函数单调性的判断及证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，应熟练掌握．