Question

（2012•昌平区一模）已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

3

bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式，结合a₃=10，a₆=22，建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（II）Sn=1-

1

3

bn，当n≥2时，Sn-1=1-

1

3

bn-1，两式相减，即可证得数列{b_n}是以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列．

解答：（I）解：由已知，∵数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，
∴

a1+2d=10 a1+5d=22.

，解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（6分）
（II）证明：由于Sn=1-

1

3

bn，①
令n=1，得b1=1-

1

3

b1，解得b1=

3

4

，
当n≥2时，Sn-1=1-

1

3

bn-1②
①-②得bn=

1

3

bn-1-

1

3

bn，
∴bn=

1

4

bn-1
又b1=

3

4

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

4

．
∴数列{b_n}是以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列．…（13分）

点评：本题考查等差数列的通项，等比数列的证明，解题的关键是掌握解决数列问题的基本方法．