Question

(本小题满分12分)

已知函数，

   （1）若函数在上是增函数，求正实数a的取值范围；

   （2）a=1时，求在上的最大值和最小值；

   （3）a=1时，求证：对大于1的正整数，。

Answer 1

解：（1）由已知：，               …………………………2分

依题意：对成立，

∴ ，对恒成立，即，对恒成立，

∴ ，即。             ……………………………………4¢

（2）当时，

若，则，

若，则，

故是函数在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，

故。                 ………………………………6¢

又，

∵ ，

∴ ，∴ ，   ………………………………8¢

∴ 在上最大值是=，

∴ 在最大，最小0。        …………………………10¢

（3）当a=1时，由（1）知，在是增函数。

当时，令，则，∴，

即，

即。                     ………………………………14¢