Question

如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a_i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h_i（i=1，2，3，4），若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，则

4

i=1

(ihi)=

2S

k

．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=K，则

4

i=1

(iHi)=（　　）

• A、

  4V

  K

• B、

  3V

  K

• C、

  2V

  K

• D、

  V

  K

Answer 1

分析：由

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k可得a_i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．

解答：解：根据三棱锥的体积公式 V=

1

3

Sh
得：

1

3

S1H1+

1

3

S2H2+

1

3

S3H3+

1

3

S4H4=V，
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，
∴H1+2H2+3H3+4H4=

3V

K

，
即

4

i=1

(iHi)=

3V

K

．
故选B．

点评：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．