题目内容

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）且a₁，a₂，…，a_n构成一个数列，又f（1）=n²
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）比较f（ $数学公式$ ）与1的大小．

解：（1）f（1）=n²
得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n² ①
当n≥2时a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）² ②
①-②得a_n=n²-（n-1）²=2n-1
又在①中令n=1得出a₁=1，也适合上式
所以数列{a_n} 的通项公式a_n=2n-1．
（2）f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）+3（ $\text{[math]}$ ）²+5（ $\text{[math]}$ ）³+…+（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，
两边都乘以 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）²+3（ $\text{[math]}$ ）³+5（ $\text{[math]}$ ）⁴+…+（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹，
两式相减，得 $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）+2（ $\text{[math]}$ ）²+2（ $\text{[math]}$ ）³+…+2（ $\text{[math]}$ ）ⁿ…-（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹，
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹，
= $\text{[math]}$
则f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜1
分析：（1）f（1）=n²，得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，当n≥2时a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²，两式相减求通项即可．
（2）由（1）应得出f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）+3（ $\text{[math]}$ ）²+5（ $\text{[math]}$ ）³+…+（2n-1）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，将f（ $\text{[math]}$ ）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求出，再与1比较．
点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；考查构造、变形、计算、推理论证能力．