Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，前10项和S₁₀=100；
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设log₂b_n=a_n，证明{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前四项之和．
（3）设c_n=b_n+a_n，求{c_n}的前五项之和．

Answer 1

分析：（1）有S₁₀=100求出公差d，再代入等差数列的通项公式即可；
（2）先由（1）的结论，求出{b_n}的通项公式，然后再看是否满足等比数列的定义即可，进而求得{b_n}的通项公式，从而可求{b_n}的前四项之和；
（3）根据c_n=b_n+a_n，分别求出数列{c_n}的前五项，再求和即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₁₀=100，得10×1+

10×9

2

d=100，解得d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N₊）；
（2）∵a_n=log₂b_n?b_n=2an=2^2n-1．
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

22(n+1)-1

22n-1

=4，
∴{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列．
b_n=2x4^n-1，b₁+b₂+b₃+b₄=2+8+32+128=170，
（3）c_n=b_n+a_n=2n-1+2x4^n-1，
∴{c_n}的前五项之和为1+3+5+7+9+170+2x256=707．

点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．在利用通项公式判断一个数列是不是等比数列时，通常是利用等比数列的定义，以及分组求和，同时考查了运算能力，属中档题．