Question

10、定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则f（2011）的值是（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、2

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，即可f（2011）的值．

解答：解：∵f（1+x）=f（1-x），
故直线x=1是函数y=f（x）的一条对称轴
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
则T=4是函数y=f（x）的一个周期
又∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，
故f（2011）=f（-1）=-1
故选A

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，则T=4|a-b|是函数的周期是解答本题的关系．