Question

已知f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=2x+

1

2x

，求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析：由奇函数性质可得f（-0）=-f（0），可求f（0）；当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），由已知表达式可求f（-x），根据奇函数性质可得f（x）与f（-x）的关系，从而可求得f（x）．

解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），解得f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
由x∈（0，1）时f(x)=2x+

1

2x

，得f（-x）=2-x+

1

2-x

=

1

2x

+2x，
又f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-2^x-

1

2x

；
故f（x）=

-2x- 1 2x ，-1＜x＜0 0，x=0 2x+ 1 2x ，0＜x＜1

．

点评：本题考查函数解析式的求解及其常用方法，考查奇函数的性质及其应用，准确理解奇函数的性质是解题的关键．