Question

【题目】设是抛物线上的一点，抛物线在点处的切线方程为.

（1）求的方程；

（2）已知过点的两条不重合直线，的斜率之积为，且直线，分别交抛物线于，两点和，两点.是否存在常数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）通过直线与抛物线相切，，求出抛物线方程.

（2）将所求的转化为，

直曲联立得到，利用弦长公式表示出，同理得到，带入上式整理化简可得所求.

（1）【解法一】由消得.

由题意得，因为，所以.

故抛物线

【解法二】

设，由得，.

由解得.

故抛物线.

（2）假设存在常数使得成立，

则.

由题意知，，的斜率存在且均不为零，

设的方程为，则由，消去得，.

设,，则，.

所以 .

（也可以由，得到.）

因为直线，的斜率之积为，所以.

所以.

所以，存在常数使得成立.