题目内容

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，则g（
1
2013
）+g(
2
2013
)+…+g(
2012
2013
)=（　　）
分析：正确求出对称中心，利用对称中心的性质即可求出．
解答：解：由题意，g′（x）=x2-x+3，∴g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0，解得x=
1
2
，
又g(
1
2
)=1，∴函数g（x）的对称中心为(
1
2
，1)．
∴g(
1
2013
)+g(
2012
2013
)=2g(
1
2
)=2，g(
2
2013
)+g(
2011
2013
)=2，…
∴g（
1
2013
）+g(
2
2013
)+…+g(
2012
2013
)=2012．
故选B．
点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
 
；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
1
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x3-
1
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x2+3x-
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，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
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x3-
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2
x2+3x-
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的对称中心为
（
1
2
，1）
（
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，1）
；
（2）计算f(
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2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
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)+…+f（
2012
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）=
2012
2012
．
（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
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x3-
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2
x2+
1
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x+1，则该函数的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，计算f(
1
2013
)+f(
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)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函数g(x)=
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x3-
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x2+3x-
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+
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x-
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，则g(
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)+g(
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)+g(
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)+…+g(
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)=
2012
2012
．
（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
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x2+
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x+1，则f（
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）+f（
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）+…+f（
2013
2014
）=（　　）

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