Question

已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（-3）=________；f（2009）=________．

Answer 1

0    -2
分析：根据f（x+6）=f（x）+f（3）需要令x=-3，代入求出f（-3）=0，由奇函数的定义求出f（3）=0，代入关系式求出此函数的周期，利用周期性求出f（2009）．
解答：由题意知，f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，
∴f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，∴f（3）=0，故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期为6的周期函数，
∴f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=f（-1）=-f（1）=-2．
故答案为：0，-2．
点评：本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函数的周期性，再利用周期性求函数值．灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法．