Question

20．对于定义在N^*上的函数f（x），若?x₀，N∈N^*，使f（x₀）+f（x₀+1）+…+f（x₀+n）=63成立，则称（x₀，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N^*，则该函数的“生成点”共有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由f（x）=2x+1，即?x₀∈Z，n∈N^*，使f（x₀）+f（x₀+1）+f（x₀+2）+…+f（x₀+n）=63成立，得到（n+1）[2x₀+（n+1）]=63；讨论n∈N^*，x₀∈N^*时，n、x₀的取值，即得f（x）的“生成点”（x₀，n）．

解答 解：∵f（x）=2x+1，
设?x₀∈Z，n∈N^*，使f（x₀）+f（x₀+1）+f（x₀+2）+…+f（x₀+n）=63成立，
∴（2x₀+1）+[2（x₀+1）+1]+[2（x₀+2）+1]+…+[2（x₀+n）+1]=63，
∴（n+1）×2x₀+（n+1）²=63，
即（n+1）[2x₀+（n+1）]=63；
又∵n∈N^*，x₀∈N^*，
∴当n=2时，x₀=9；
当n=6时，x₀=1；
∴f（x）的“生成点”（x₀，n）共有2个．
故选：A．

点评 本题考查了新定义的问题，解题时应根据题目中的新定义，认真分析，寻找解决问题的途径是什么，本题也考查了等差数列的求和公式的应用问题，是综合题．