Question

已知双曲线C的中心在原点O，抛物线y²=的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1，).

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：

(1)k为何值时，⊥.

(2)是否存在实数k，m使A、B两点关于直线y=mx对称，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意设双曲线方程为=1,把(1,)代入得=1  (*)

又y₂=x的焦点是(,0),故双曲线的c²=a²+b²=与(*)联立,消去b²可得4a⁴-21a²+5=0,(4a²-1)(a²-5)=0.∴a²=,a²=5(不合题意舍去) 

于是b²=l,∴双曲线方程为4x²-y²=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k²)x²-2kx-2=0  (*),

当△＞0,即(k≠±2)时,l与C有两个交点A、B

(Ⅰ)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),因,故=0 

即x₁x₂+y₁y₂=0,由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=,

代入可得+k²·+k·+1=0化简得k²=2

∴k=,检验符合条件,故当k=±时,

(2)若存在实数k,m满足条件,则必须

由(2),(3)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2  (4)

把x₁+x₂=代入(4)得mk=4这与(Ⅰ)的mk=-1矛盾,故不存在实数k,m满足条件.