Question

已知函数f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据对数函数成立的条件，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）由f（x）=0，解对数方程即可求函数的零点；
（Ⅲ）利用函数的单调性，求函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）要使函数有意义：则有 

1-x＞0 x+3＞0

，即

x＜1 x＞-3

．
解得：-3＜x＜1 
∴函数的定义域为：（-3，1）．    
（Ⅱ）函数函数f(x)=log

1

2

(1-x)+log

1

2

(x+3)=log

1

2

(1-x)(x+3)=log

1

2

(-x2-2x+3)，
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1
即x²+2x-2=0，
解得x=-1±

3

；
∵-1±

3

∈(-3，1)，
∴f（x）的零点是-1±

3

．
（Ⅲ）函数可化为：f(x)=log

1

2

[-(x+1)2+4] 
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4； 
设t=-（x+1）²+4，则t∈（0，4]
则y=log

1

2

t，是递减函数，且log

1

2

4=-2，
∴函数f（x）的值域是[-2，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的运算和性质，要求熟练掌握对数函数成立的条件以及对数性质的综合应用．