题目内容
已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2| 3 |
（Ⅰ）已知：x∈[-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）若函数f（x）按向量
| a |
| a |
分析：（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+
)+1，由 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，求得x的范围即得单调减区间，再由x∈[-
，
]，进一步确定单调减区间．
（Ⅱ）把 f（x）=2sin(2x+
)+1=2sin2（x+
） 项左平移个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，可得向量
．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）把 f（x）=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| a |
解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2x-sin2x+2
sinxcosx+1=
sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+
)+1． 由 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，∴kπ+
≤x≤kπ+
，
∴当k=-1时，∴-
≤x≤-
； 当k=0时，∴
≤x≤
，
又∵x∈[-
，
]，∴ -
≤x≤-
，或
≤x≤
，
所以，函数f（x）单调减区间为：[-
， -
]和[
，
]．
（Ⅱ）g(x)=2cos2x=2sin(2x+
)=2sin2(x+
)，
把 f（x）=2sin(2x+
)+1=2sin2（x+
） 项左平移
个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，
故 g(x)=2sin2(x+
+
)+1-1=2sin2(x+
)，所以，向量
=(-
，-1)．
| 3 |
| 3 |
=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴当k=-1时，∴-
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
又∵x∈[-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
所以，函数f（x）单调减区间为：[-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）g(x)=2cos2x=2sin(2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
把 f（x）=2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
故 g(x)=2sin2(x+
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| a |
| π |
| 6 |
点评：本题考查正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+∅）图象的变换，求函数f（x）单调减区间是解题的难点．
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