题目内容

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 1 - $数学公式$ 2 $数学公式$
y $数学公式$ 0 -4 $数学公式$
（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C₂的焦点B的直线l与曲线C₁交于M、N两点，与y轴交于E点，若 $数学公式$ =λ₁ $数学公式$ ， $数学公式$ =λ₂ $数学公式$ ，求证：λ₁+λ₂为定值．

解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px，则有 $\text{[math]}$ （x≠0），
据此验证4个点知（1， $\text{[math]}$ ）、（2，-4）在抛物线上，易求y²=8x…（2分）
设C₁： $\text{[math]}$ （a＞b＞0），把点（- $\text{[math]}$ ，0）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入得： $\text{[math]}$ C₁方程为 $\text{[math]}$ …（5分）
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B点的坐标为（2，0）．且点B在椭圆C₁内，故过点B的直线l必与椭圆相交．
∵ $\text{[math]}$ =λ₁ $\text{[math]}$ ，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁）
∴ $\text{[math]}$ ，． …（8分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得： $\text{[math]}$ ，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0． …（10分）
同理，由 $\text{[math]}$ 可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0． …（12分）
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的两个根，∴λ₁+λ₂=10．…（14分）
分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px，则有 $\text{[math]}$ （x≠0），据此验证4个点知（1， $\text{[math]}$ ）、（2，-4）在抛物线上可求抛物线方程，设C₁： $\text{[math]}$ （a＞b＞0），把点（- $\text{[math]}$ ，0）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入可求椭圆方程
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），B（2，0）．由点B在椭圆C₁内，故过点B的直线l必与椭圆相交． $\text{[math]}$ =λ₁ $\text{[math]}$ ，可得（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁），将M点坐标代入到椭圆方程可得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 同理可求，从而可求
点评：本题主要考查了抛物线的方程及椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算的能力．