题目内容

已知函数f（x）=log2x（x＞0）的反函数为g（x），且有g（a）g（b）=8，若a＜b，a＞0，则
1
a
+
4
b
的最小值为
3
3
．
分析：函数f（x）=log2x（x＞0）的反函数为g（x），可解得g（x）=2x，再由g（a）g（b）=8求得a，b所满足的关系式，利用此关系求
1
a
+
4
b
的最小值
解答：解：函数f（x）=log2x（x＞0）的反函数为g（x），
∴g（x）=2x，
又g（a）g（b）=8
∴a+b=3，又a＜b，a＞0
∴
1
a
+
4
b
=（
1
a
+
4
b
）（a+b）×
1
3
=
1
3
（5+
b
a
+
4a
b
）≥
1
3
（5+4）=3，当且仅当
b
a
=
4a
b
时等号成立，
则
1
a
+
4
b
的最小值为3
故答案为3
点评：本题考查基本不等式，解题的关键是熟练掌握反函数的定义以及基本不等式求最值的规则，本题考查了观察转化的能力及灵活判断的能力，属于能力型题
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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