Question

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=

1

2

，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N*．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•a_2n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1，2，3，能得到a3=3，a4=

1

4

，a5=5，a6=

1

8

，当n为奇数时，a_2n-1=2n-1；当n为偶数时，a2n=a2•(

1

2

) n-1=(

1

2

)n，由此能导出数列a_n的通项公式．
（2）因为bn=(2n-1)•(

1

2

)n，所以Sn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3++(2n-3)•(

1

2

)n-1+(2n-1)•(

1

2

)n，由错位相减法能够得到数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）a3=3，a4=

1

4

，a5=5，a6=

1

8

当n为奇数时，a_n+2=a_n+2
所以a_2n-1=2n-1（3分）
当n为偶数时，an+2=

1

2

an即a2n=a2•(

1

2

) n-1=(

1

2

)n（5分）
因此，数列a_n的通项公式为an=

n，n=2k-1 ( 1 2 ) n 2 ，n=2k

（6分）
（2）因为bn=(2n-1)•(

1

2

)nSn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n-3)•(

1

2

)n-1+(2n-1)•(

1

2

)n

1

2

Sn=1•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+5•(

1

2

)4+…+(2n-3)•(

1

2

)n+(2n-1)•(

1

2

)n+1
两式相减得

1

2

Sn=1•

1

2

+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1（8分）
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-(2n+3)(

1

2

)n+1
∴Sn=3-(2n+3)•(

1

2

)n（12分）

点评：本题考查数列的求值、求解通项公式的方法和用错位相减法求解通项公式的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．