题目内容
已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证f(b)-f(a)＞
．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证f(b)-f(a)＞
| 2a(b-a) |
| a2+b2 |
（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x
∴g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），∴g′(x)=
-1
令g′（x）=0，得x=0
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0 （6分）
（2）证明：f(a)-f(b)=lnb-lna=ln
=-ln
=-ln(1+
)
由（1）知ln(1+x)≤x，f(b)-f(a)≥-
=
又∵0＜a＜b，∴a2+b2＞2ab，∴
＞
∴
＞
∴f(b)-f(a)＞
（12分）
∴g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），∴g′(x)=
| 1 |
| x+1 |
令g′（x）=0，得x=0
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0 （6分）
（2）证明：f(a)-f(b)=lnb-lna=ln
| b |
| a |
| a |
| b |
| a-b |
| b |
由（1）知ln(1+x)≤x，f(b)-f(a)≥-
| a-b |
| b |
| b-a |
| b |
又∵0＜a＜b，∴a2+b2＞2ab，∴
| 1 |
| b |
| 2a |
| a2+b2 |
∴
| b-a |
| b |
| 2a(b-a) |
| a2+b2 |
∴f(b)-f(a)＞
| 2a(b-a) |
| a2+b2 |
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