Question

已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤.

Answer 1

证法一:(分析法)?

要证明2sin2α≤成立,?

只要证明4sinαcosα≤.?

∵α∈(0,π),∴sinα＞0.?

只要证明4cosα≤.?

上式可变形为4≤+4(1-cosα).?

∵1-cosα＞0,?

∴+4(1-cosα)≥2=4,?

当且仅当cosα=,即α=时取等号.?

∴4≤+4(1-cosα)成立.?

∴不等式2sin2α≤成立.

证法二:(综合法)?

∵+4(1-cosα)≥4,?

(1-cosα＞0,当且仅当cosα=即α=时取等号)?

∴4cosα≤.?

∵α∈(0,π),?∴sinα＞0.?

∴4sinαcosα≤.?

∴2sin2α≤.