题目内容
如图，已知椭圆C：
＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．
(1)设P是椭圆C上任意一点，若
＝m
＋n
，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．
（1）见解析（2）1
【解析】(1)易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)
设P(x0，y0)，则
＋
＝1.由
＝m
＋n
，，得
所以
＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝
.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝
上．(8分)
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
＝－
.
平方得
＝16
＝(4－
)(4－
)，即＋＝4.(10分)
因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，
所以O到直线MN的距离为
d＝
，(12分)
所以△OMN的面积S＝
MN·d＝
|x1y2－x2y1|＝
＝
＝
＝1.
故△OMN的面积为定值1.(16分)
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