Question

已知定义在R上的函数f（x），满足对任意a，b∈R，都有f（a+b²）=f（a）+2f²（b）成立，则f（2011）=________．

Answer 1

0或
分析：本题利用赋值法解决，令a=b=0得：f（0）=f（0）+2f²（0）?f（0）=0；令a=0，b=1得：f（1）=f（0）+2f²（1）?f（1）=0或f（1）=，令a=n，b=1得：f（n+1）=f（n）+2f²（1），{f（n）}构成一个等差数列，利用等差数列的通项公式即可求得结果．
解答：令a=b=0得：
f（0）=f（0）+2f²（0）?f（0）=0；
令a=0，b=1得：
f（1）=f（0）+2f²（1）?f（1）=0或f（1）=
令a=n，b=1得：
f（n+1）=f（n）+2f²（1）
当f（1）=0时，
f（n+1）=f（n）
则f（2011）=0；
当f（1）=时
f（n+1）=f（n）+
构成一个等差数列，则f（2011）=f（1）+2010×=
则f（2011）=0或
故答案为：0或．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查了数列的知识．解答的关键是利用赋值法解决问题．