Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中已知条件化简公式可得出与的关系，即可证明数列是等差数列；
（2）根据（1）中求得的与的关系，即可求出的表达式，进而求出数列{a_n}的通项；
（3）根据数列{a_n}的通项先求出的表达式，然后求出前n项和的表达式，进而可以求出的值．
解答：解：（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=8n²-2
即…（4分）
∵，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列  …（5分）
（2）∵，
∴a_n=4n²-1…（9分）
（3）∵…（11分）
∴…（12分）
∴=…（14分）
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列的极限，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．