Question

已知α∈（0，π），且cosα+sinα=

2

2

，则cosα-sinα的值为（　　）

• A．-

  2

• B．-

  6

  2

• C．

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：把已知等式左边提取

2

后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，整理后求出cos（α-

π

4

）的值，由α的范围求出α-

π

4

的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数为

7π

12

，把

7π

12

变为

π

3

+

π

4

，进而利用两角和与差的正弦、余弦函数公式求出sinα和cosα的值，将sinα和cosα的值代入所求的式子中，即可求出值．

解答：解：∵cosα+sinα=

2

（

2

2

cosα+

2

2

sinα）=

2

cos（α-

π

4

）=

2

2

，
∴cos（α-

π

4

）=

1

2

，且α必为钝角
又α∈（0，π），∴α-

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴α-

π

4

=

π

3

，即α=

7π

12

，
∴sinα=sin

7π

12

=sin（

π

3

+

π

4

）=sin

π

3

cos

π

4

+cos

π

3

sin

π

4

=

6 + 2

4

，
cosα=cos

7π

12

=cos（

π

3

+

π

4

）=cos

π

3

cos

π

4

-sin

π

3

sin

π

4

=

2 - 6

4

，
则cosα-sinα=

2 - 6

4

-

6 + 2

4

=-

6

2

．
故选B

点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，涉及的知识有：两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．