题目内容
已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． | B． | C．1 | D．2 |
D
易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.
由
得x2-4kx-4b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,
又|AB|=6,
∴
=6,
化简得b=
-k2,
设AB中点为M(x0,y0),
则y0=
=
=
+b
=2k2+-k2
=k2+=(k2+1)+ -1
≥2×-1=2.
当且仅当k2+1=,
即k2=
时,y0取到最小值2.故选D.
由
得x2-4kx-4b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,
又|AB|=6,
∴
=6,化简得b=
-k2,设AB中点为M(x0,y0),
则y0=
==+b=2k2+
-k2=k2+
=(k2+1)+ -1≥2×
-1=2.当且仅当k2+1=
,即k2=
时,y0取到最小值2.故选D.
练习册系列答案
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（k＞0）与抛物线
相交于
、
两点，
为
的焦点，若
，则k的值为
的中心在原点，焦点在x轴上，若
：
的焦点重合，且抛物线
，则双曲线
,则抛物线的方程为( )
发出的光线，沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点
，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点
，再经抛物线反射后射向直线
上的点
，经直线反射后又回到点
，则
等于( )
),C(x,y),若
⊥
,则动点C的轨迹方程是_________.