题目内容

已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为q，则q的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：设三边：a、qa、q²a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，把a、qa、q²a、代入，分q≥1和q＜1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得答案．
解答：设三边：a、qa、q²a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即
（1）当q≥1时a+qa＞q²a，等价于解二次不等式：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0两根为： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
故得解： $\text{[math]}$ ＜q＜ $\text{[math]}$ 且q≥1，
即1≤q＜ $\text{[math]}$
（2）当q＜1时，a为最大边，qa+q²a＞a即得q²+q-1＞0，解之得q＞ $\text{[math]}$ 或q＜- $\text{[math]}$ 且q＞0
即q＞ $\text{[math]}$
综合（1）（2），得：q∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
故选D．
点评：本题主要考查了等比数列的性质，要注意分类讨论，属中档题．