Question

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线y²=x的焦点为F₁，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为，
则，①
∵抛物线的焦点为F₁，
∴，  ②
又a²=b²+c²， ③
由①、②、③得a²=12，b²=6，
所以椭圆E的方程为。
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
代入椭圆E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18，
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，x₁x₂=，
圆P的圆心为，
半径，
当圆P与y轴相切时，，
即，m²=9＜18，m=±3，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x₁+x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4。