Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-2a_n}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-2a_n}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出a_n+1-2a_n=2^n-1，两边同时除以2ⁿ⁺¹，利用等差数列的定义得到{

an

2n

}为等差数列，利用等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n
∴a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n=2（a_n+1-a_n）
又a₂-2a₁=1
即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2
∴数列{a_n+1-2a_n}是以1为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知a_n+1-2a_n=2^n-1
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

4

又

a1

2

=

1

2

∴

an

2n

=

1

2

+

1

4

(n-1)=

n+1

4

∴a_n=（n+1）2^n-2

点评：本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．