Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

⑴证明PA//平面EDB；

⑵证明PB⊥平面EFD；

⑶求二面角C—PB—D的大小．

Answer 1

（Ⅲ）

解析:

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，

设．

（Ⅰ）连结AC，AC交BD于G，连结EG．依题意得

．　（2分）

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，

且．∴，这表明PA//EG．

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．   （4分）

（Ⅱ）依题意得，．

又，

故．∴．

（6分）由已知，且，

所以平面EFD． （8分）

（Ⅲ）设点F的坐标为，，则，

从而，所以

．（9分）

由条件知，，即，

解得，∴点F的坐标为，且，

．∴，即，

故是二面角C—PB—D的平面角． （10 分）

∵，，，

∴，得．

所以二面角C—PB—D的大小为．        　 （12分）

评析 （1）用向量法证明线面平行的另两种常见方法是:①利用共面向量定理,证明存在实数,使得；②证明向量

与平面的一个法向量垂直．

(2)计算二面角大小，既可以根据二面角的定义，

通过作出二面角的平面角，再解三角形求角，

也可以运用向量方法，转化为计算两个平面的

法向量的夹角．做题时要考虑前后联系，注意

选择简便的方法．