题目内容

记（1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）…（1+ $数学公式$ ）的展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，其中 n∈N^．
（1）求a_n；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b_n= $数学公式$ （1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）对n∈N，n≥2恒成立？证明你的结论．

解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）计算得b₂= $\text{[math]}$ ，b₃= $\text{[math]}$ ．
代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用数学归纳法证明b_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （n≥2）：
①当n=2时，b₂= $\text{[math]}$ ，结论成立．
②设n=k时成立，即b_k= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
则当n=k+1时，b_k+1=b_k+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
由①②可得结论成立．　　　 …（10分）
分析：（1）根据多项式乘法运算法则，可得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，利用等比数列的求和公式，可得结论；
（2）先计算b₂，b₃的值，代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1，再用数学归纳法证明．
点评：本题考查展开式的系数，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”。定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0。例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1，设A₀是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…。
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A₁，A₀；
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（3）若A₀为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，求l_k关于k的表达式。

某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）
A．1.1⁴
B．1.1⁵
C．10×（1.1⁶-1）
D．11×（1.1⁵-1）

某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）
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定义集合A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，记“从集合A中任取一个元素x，x∈A-B”为事件E，“从集合A中任取一个元素x，x∈A∩B”为事件F；P（E）为事件E发生的概率，P（F）为事件F发生的概率，当a、b∈Z，且a＜-1，b≥1时，设集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．给出以下判断：
①当a=-4，b=2时P（E）=

；          ②总有P（E）+P（F）=1成立；
③若P（E）=1，则a=-2，b=1；                 ④P（F）不可能等于1．
其中所有正确判断的序号为    ．

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A∈S(m,n),记r_i(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：

记K(A)为∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）对如下数表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

求K（A）的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因为，

所以

（2）不妨设.由题意得.又因为，所以，

于是，，

所以，当，且时，取得最大值1。

（3）对于给定的正整数t，任给数表如下，

		…
		…

任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表

，并且，因此，不妨设，

且。

由得定义知，，

又因为

所以

所以，

对数表：

1	1	…	1		…
		…		-1	…	-1

则且，

综上，对于所有的，的最大值为