题目内容
【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
的长度为a，在线段上取两个点
，
，使得
，以
为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段
作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第
个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为
，现给出有关数列
的四个命题：
①数列是等比数列；
②数列是递增数列；
③存在最小的正数
，使得对任意的正整数 ，都有
；
④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有
．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解。
由题意，得图1中线段为
，即
；
图2中正六边形边长为
，则
；
图3中的最小正六边形边长为
，则
；
图4中的最小正六边形边长为
，则
；
由此类推，
，
所以
为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
因为
，
即存在最大的正数
，使得对任意的正整数
，都有
，
即④正确；③错误，
综上可知正确的由②④。
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销售量
（单位：吨）和年利润
（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费
和年销售量
（
）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份 |
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年宣传费 |
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年销售量 |
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经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
（
）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
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（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与，的关系为
若想在
年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
