Question

已知圆：，直线与圆相交于，两点．

（Ⅰ）若直线过点，且，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线的斜率为，且以弦为直径的圆经过原点，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）或（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）解决直线与圆位置关系的综合问题时，要充分考虑平面几何知识的运用，不要单纯地依靠代数运算，这样简单又不易出错．由题意知的斜率必然存在，可设出直线的方程，.其中r为圆的半径，d为弦心距，l为弦长即可解决；（Ⅱ）采用设而不求，利用直线与圆的方程联立的关于x的二次方程，由得，即，再利用韦达定理即可.

试题解析：（Ⅰ）由题设知直线的斜率存在，设其方程为，即．

圆：，即，

圆心，半径为．

由，知圆心到直线的距离为，

于是，即，

整理得，解得，或．

所以直线的方程为或． 5分

（Ⅱ）由直线的斜率为，设直线的方程为．

由 ，

得．

令，解得．（1）

设，则，．

因为以为直径的圆过原点，所以．

所以，即．

代入得，解得或，满足（1）．

故直线的方程为或． 10分

考点：直线与圆的位置关系的综合