Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₅=45．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的公差为d，运用求和公式，计算可得d=4，再由通项公式即可得到所求；
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$=$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$，由裂项相消求和即可得到所求值．

解答 （1）解：设等差数列的公差为d，
由a₁=1，S₅=45，可得45=5+$\frac{1}{2}$×5×4d，
解得d=4，
则a_n=4n-3；
（2）证明：由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$=$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$，
则T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{5×9}$+$\frac{1}{9×13}$+…+$\frac{1}{（4n-3）×（4n+1）}$
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{n}{4n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．