Question

已知函数（x＞0）．

       （1）若a＝1，f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；

       （2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数．

Answer 1

解：

①当0＜x＜2时，，．由条件，得恒成立，

即b≥x恒成立．∴b≥2．  …………… 2分

② 当x≥2时，，．由条件，得恒成立，

即b≥－x恒成立．∴b≥－2．…………… 4分

综合①，②得b的取值范围是b≥2． …………………… 5分

（2）令，即

当时，，．

∵，∴．则≥0．

即，∴在（0，）上是递增函数．  ………………… 7分

当时，，＞0．∴在（，＋∞）上是递增函数．又因为函数g（x）在有意义，∴在（0，＋∞）上是递增函数．…… 10分

∵，而a≥2，∴，则＜0．∵a≥2，∴…… 12分

当a≥3时，≥0，∴g（x）＝0在上有惟一解．当时，<0，

∴g（x）＝0在上无解．……………… 14分