Question

已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax²＋1.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设a<－1.如果对任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，|f(x₁)－f(x₂)|≥4|x₁－x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝＋2ax＝.

当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ .

则当x∈(0, )时，f′(x)>0；

x∈( ，＋∞)时，f′(x)<0.

故f(x)在(0, )上单调递增，在( ，＋∞)上单调递减．

(2)不妨假设x₁≥x₂.而a<－1，

由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

从而∀x₁，x₂∈(0，＋∞)，

|f(x₁)－f(x₂)|≥4|x₁－x₂|等价于∀x₁，x₂∈(0，＋∞)，f(x₂)＋4x₂≥f(x₁)＋4x₁.①

令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4.

①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

即＋2ax＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立．

从而a≤＝＝－2.

故a的取值范围为(－∞，－2]．