Question

已知椭圆C₁：=1和圆C：x²+y²=4，且圆C与x轴交于A₁，A₂两点．
（1）设椭圆C₁的右焦点为F，点P的圆C上异于A₁，A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明；
（2）设点M（x，y）在直线x+y-3=0上，若存在点N∈C，使得∠OMN=60°（O为坐标原点），求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆方程可求得焦点坐标和右准线方程，设点P，代入圆方程求得x，y的关系，进而表示出直线PF，OQ的斜率，进而可推断出直线OQ的方程，把x=2代入求得y，求得Q点的坐标，进而求得PQ的斜率的表达式，结果与OP的斜率乘积为-1，推断出OP⊥PQ进而可知直线P与圆C相切
（2）设∠OMN=θ，则依题意可知θ≥60°，进而求得sinθ的范围，根据ON=2确定OM的范围，进而根据点M在直线l上，求得x，y的关系式，进而根据x²+y²≤，求得x的取值范围．
解答：解：（1）直线P与圆C相切．
证明如下：易得椭圆C₁的右焦点为F（，0），
右准线为x=2
设点P（x，y）则有x²+y²=4，
又k_PF=，k_OQ=-
∴直线OQ的方程为y=x
令x=2，得y=-，
即Q（2，-）
∴k_PQ==-=-又k_OP=
于是有k_PQ•k_OP=-1，故OP⊥PQ，直线P与圆C相切
（2）如图，设∠OMN=θ，则θ≥60°，
即sinθ≥，即≥，
而ON=2，∴OM≤
∵M（x，y），∴x²+y²≤，
又由M（x，y）∈l，得x+y=3，
∴y=3-x，于是有x²+（3-x）²≤，
整理，得6x²-18x+11≤0，
解得≤x≤
∴x的取值范围是[，]
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，故应作为平时复习的重点．