题目内容

已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O,C1和C2有公共焦点F,点F在x轴正半轴上,且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列.
(Ⅰ)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时,求C1及C2的方程;
(Ⅱ)设点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,交C2于M,N两点.当|PQ|=
367
时,求|MN|的值.
分析:(1)先设C1、C2的标准方程,进而可得到a=2c,再求出C1的右准线方程、C2的准线方程,根据C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列求出a,b,c的值,得到答案.
(2)先表示出直线l的方程,然后设M、N、P、Q四点的坐标,联立直线和椭圆方程消去y,得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由|PQ|=
36
7
可求出c的值,最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程,同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c可最后答案.
解答:解:(Ⅰ)设C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其半焦距为c(c>0).则C2:y2=4cx.
由条件知(2b)2=2a(
a2
c
-c)
,得a=2c.C1的右准线方程为x=
a2
c
,即x=4c.C2的准线方程为x=-c.
由条件知5c=15,所以c=3,故a=6,b=3
3

从而C1
x2
36
+
y2
27
=1
,C2:y2=12x.
(Ⅱ)由题设知l:y=x-c,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).
由(Ⅰ)知C1
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
,即3x2+4y2=12c2
3x2+4y2=12c2
y=x-c
,知x3,x4满足7x2-8cx-8c2=0,
从而|PQ|=
(x3-x4)2+(y3-y4)2
=
2
|x3-x4|=
24
7
c

由条件|PQ|=
36
7
,得c=
3
2
,故C2:y2=6x.
y2=6x
y=x-
3
2
x2-9x+
9
4
=0
,所以x1+x2=9.
于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12.
点评:本题主要考查椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题.直线和圆锥曲线的综合题是每年的重头戏,一般作为压轴题出现,要想答对必须熟练掌握其基础知识,多做练习.
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