题目内容
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1ECF所成角的正弦值为（ ）
A．
| B．
| C．
| D．
|
连接C1B，∵E、F分别为AB与C1D1的中点，
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
又EF?平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，sin∠B1A1C=
=
．
∴A1B1与平面A1ECF所成角的弦值为
．
故选B
∴C1F=BE．又C1F∥BE，
∴C1FEB为平行四边形．∴C1B∥EF．而C1B⊥B1C，
∴EF⊥B1C．又四边形A1ECF是菱形，∴EF⊥A1C．∴EF⊥面A1B1C．
又EF?平面A1ECF，
∴平面A1B1C⊥平面A1ECF．∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上．
∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角．
∵A1B1⊥B1C，在Rt△A1B1C中，sin∠B1A1C=
| B1C |
| CB1 |
| ||
| 3 |
∴A1B1与平面A1ECF所成角的弦值为
| ||
| 3 |
故选B
练习册系列答案
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