题目内容

数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，4Sn=(an+1)2
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式
（Ⅱ）设bn=
an
3n
，求和Tn=b1+b2+…+bn．
（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．
当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，
又{an}各项均为正数，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）bn=
an
3n
=
2n-1
3n

∴Tn=b1+b2+…+bn=
1
31
+
3
32
+…+
2n-1
3n
---①
∴
1
3
Tn=
1
32
+
3
33
+…+
2n-3
3n
+
2n-1
3n+1
---②
①-②
2
3
Tn=
1
31
+2（
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
）-
2n-1
3n+1
=
2
3
-
2n+2
3n+1

∴Tn=1-
2
3
-
n+1
3n
．
练习册系列答案
相关题目
设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn（k）表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）
若数列{an}的通项an=
1
pn-q
，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pan＜an-1；
（2）求证sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求证sn＜
2
3
．
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求数列{bn}的通项公式bn．
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）
给出下列命题：
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1，则数列{an}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是
③
③
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网