Question

设函数f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）当 0≤x≤

π

2

时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用cos²x=1-sin²x，将函数化为关于sinx的二次函数，对称轴为

a

2

，进行分类求解．
（2）M（a）=2时，利用（1）求出a，继而确定函数解析式，求最小值．

解答：解：（1）f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

当 0≤x≤

π

2

时，0≤sinx≤1．
当

a

2

≤0时，即a≤0时，在sinx=0取最大值，M（a）=-

a

4

+

1

2

当0＜

a

2

＜1时，即0＜a＜2时，在sinx=

a

2

取最大值，M（a）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

当1≤

a

2

＜1时，即a≥2时，在sinx=取最大值，M（a）=

3a

4

-

1

2

综上所述M（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2 4 - a 4 + 1 2 0＜a＜2 3a 4 - 1 2 a≥2

（2）M（a）=2时，由（1）解得a=-6或a=

10

3

当a=-6时，f（x）=-（sinx+3）²+11，f（x）min=-5．
当a=

10

3

时，f（x）=-（sinx-

5

3

）²+

22

9

，f（x）min=-

1

3

．

点评：本题主要考查二次函数图象与性质，分类讨论思想，方程思想．属于中档题．