Question

5．已知函数f（x）=2^x-2^-x，实数x，y满足f（x²-4y）+f（4x-y²）≥0，若点M（3，1），N（x，y），则当-5≤x≤-2时，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值为-8（其中O为坐标原点）

Answer 1

分析 可判断函数f（x）为奇函数且为增函数，问题转化为在$\left\{\begin{array}{l}{（x-y）（x+y+4）≥0}\\{-5≤x≤-2}\end{array}\right.$之下，求z=3x+y的最大值的线性规划问题，作图可得．

解答 解：∵f（x）=2^x-2^-x，∴f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴函数f（x）=2^x-2^-x为奇函数，
又易判f（x）=2^x-2^-x=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$为R上的增函数，
∴f（x²-4y）+f（4x-y²）≥0
可化为f（x²-4y）≥-f（4x-y²），
由奇函数的性质可得f（x²-4y）≥f（-4x+y²），
∴x²-4y≥-4x+y²，变形可得（x-y）（x+y+4）≥0，
又∵点M（3，1），N（x，y），
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+y，
问题转化为在$\left\{\begin{array}{l}{（x-y）（x+y+4）≥0}\\{-5≤x≤-2}\end{array}\right.$之下，求z=3x+y的最大值的线性规划问题，
作出图象可知当目标直线l经过图中的点A时，z=3x+y取最大值，
令x=-2，可得A（-2，-2），
代入计算可得z=3x+y的最大值为z_max=3×（-2）-2=-8．
故答案为：-8．

点评 本题考查平面向量的数量积，涉及函数的单调性奇偶性以及线性规划问题，属中档题．